Question

已知E、F、G、H分别是三棱锥A-BCD 棱AB、BC、CD、DA的中点，
（1）四边形EFGH是

 

形；
（2）AC与BD所成角为60°，且AC=BD=1，则EG=

 

．

Answer 1

考点：空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由中位线易得EF∥AC且EF=

1

2

AC，GH∥AC且GH=

1

2

AC，可得平行四边形；
（2）由异面直线所成的角可得∠EFG=60°或120°，在△EFG中易得答案．

解答： 解：（1）∵E、F、G、H分别是三棱锥A-BCD 棱AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF为△ABC的AC边的中位线，故EF∥AC且EF=

1

2

AC，
同理GH为△ACD的AC边的中位线，故GH∥AC且GH=

1

2

AC，
∴EF平行且等于GH，∴四边形EFGH是平行四边形
（2）由（1）可得EF∥AC且EF=

1

2

AC=

1

2

，
同理FG∥BD且FG=

1

2

BD=

1

2

，
∵AC与BD所成角为60°，
∴∠EFG=60°或120°，
当∠EFG=60°时，EG=

1

2

；
当∠EFG=120°时，EG=

3

2

；
故答案为：平行四边；

1

2

或

3

2

点评：本题考查空间中直线与直线的位置关系，涉及异面直线所成的角，属基础题．