Question

过点P（2，1）作直线l分别交x、y轴的正半轴于A、B两点，点O为坐标原点．当△AOB的周长最小值时，直线l的方程为

 

．

Answer 1

考点：直线的截距式方程

专题：直线与圆

分析：方法一【几何法】：运用三角形的旁切圆（与AB，x轴，y轴相切），显然该圆的直径就是三角形AOB的周长，当该圆与AB的切点是P时，圆的半径最小，三角形的周长就最小；
方法二，【代数法】：根据题意，设出三角形的顶点坐标，求出三角形周长c的表达式，
计算c取最小值时对应的直线方程．

解答： 解：方法一【几何法】：画出三角形的旁切圆（与AB，x轴，y轴相切），如图所示，
显然该圆的直径就是三角形AOB的周长，
当该圆与AB的切点是P时，圆的半径最小，
三角形的周长就最小；
设点C（x，y），此时|PC|=x=y，
∴

(x-2)2+(y-1)2

=x=y，
解得x=y=5，
∴直线CP的斜率是k_CP=

5-1

5-2

=

4

3

，
∴直线l的斜率是k_l=-

3

4

，
∴直线l的方程是y-1=-

3

4

（x-2），
即3x+4y-10=0．
方法二【代数法】：根据题意，设三角形的顶点分别为O（0，0），A（a，0），B（0，b），其中a＞0，b＞0，
设∠OAB=α，则α∈（0，

π

2

），如图所示；
∴OA=a=2+

1

tanα

，OB=b=1+2tanα，
AB=PA+PB=

1

sinα

+

2

cosα

，
周长c=OA+AB+BO=3+

1

tanα

+2tanα+

1

sinα

+

2

cosα

=3+

cosα+1

sinα

+

2(sinα+1)

cosα

=3+

2cos2 α 2 -1+1

2sin α 2 cos α 2

+

2(sin α 2 +cos α 2 )2

cos2 α 2 -sin2 α 2

=3+

cos α 2

sin α 2

+2•

cos α 2 +sin α 2

cos α 2 -sin α 2

=3+

1

tan α 2

+2•

1+tan α 2

1-tan α 2

；
令tan

α

2

=x，则x∈（0，1），
∴周长c=3+

1

x

+

2(1+x)

1-x

=3+

1

x

-2+

4

1-x

=1+

1

x

+

4

1-x

，
∴c′=-

1

x2

+

4

(1-x)2

=

3x2+2x-1

x2(1-x)2

，
令3x²+2x-1=0，解得x=

1

3

或x=-1（舍去）；
∴当x=

1

3

时，周长c取最小值1+3+6=10；
此时a=2+

1-tan2 α 2

2tan α 2

=2+

1-( 1 3 )2

2× 1 3

=2+

4

3

=

10

3

，
b=1+2•tanα=1+2×

3

4

=

5

2

，
∴直线l的方程为

3x

10

+

2y

5

=1，
即3x+4y-10=0．
故答案为：3x+4y-10=0．

点评：本题考查了直线的截距式方程的应用问题，也考查了求函数最值的应用问题，是难题．