Question

19．设奇函数f（x）的定义域为R，且周期为5，若f（1）＜-1，f（4）=log_a2（a＞0，且a≠1），则实数a的取值范围是（1，2）．

Answer 1

分析 f（x）是周期为5的函数，又f（x）是定义域为R的奇函数，可得：f（4）=f（-1）=-f（1）=log_a2，因此f（1）=-log_a2，又f（1）＜-1，可得log_a2＞log_aa，对a分类讨论，利用对数函数的单调性即可得出．

解答 解：∵f（x）是周期为5的函数，
∴f（x+5）=f（x），又f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（4）=f（5-1）=f（-1）=-f（1）=log_a2，
∴f（1）=-log_a2，
又∵f（1）＜-1，
∴-log_a2＜-1，
∴log_a2＞1=log_aa，
∴当0＜a＜1时，∴a＞2，舍去．
当a＞1时，∴a＜2，
此时，1＜a＜2，
综上，1＜a＜2，
实数a的求值范围是（1，2）．
故答案为：（1，2）．

点评 本题考查了函数的奇偶性单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．