Question

7．已知向量$\overrightarrow m$=（2sinωx，sinωx），$\overrightarrow n$=（cosωx，-2$\sqrt{3}$sinωx）（ω＞0），函数f（x）=$\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$+$\sqrt{3}$，直线x=x₁，x=x₂是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{2}$．
（I）求ω的值；        
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）若f（a）=$\frac{2}{3}$，求sin（4a+$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （I）利用数量积化简函数的表达式，通过函数的周期求ω的值；        
（Ⅱ）利用正弦函数的单调增区间，即可求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）利用已知条件，通过两角和与差的三角函数化简求解即可．

解答 解：（Ⅰ）向量$\overrightarrow m$=（2sinωx，sinωx），$\overrightarrow n$=（cosωx，-2$\sqrt{3}$sinωx）（ω＞0），函数f（x）=$\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$+$\sqrt{3}$，所以$f（x）=2sin（2ωx+\frac{π}{3}）$，直线x=x₁，x=x₂是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{2}$．
可得T=π，$\frac{2π}{2ω}=π$，
∴ω=1．（4分）
（Ⅱ）$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$，可得2x$+\frac{π}{3}$∈$[2kπ-\frac{π}{2}，2kπ+\frac{π}{2}]$，可得x∈$[{kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}}]$（k∈Z ），
函数的单调增区间：$[{kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}}]$（k∈Z）   （8分）
（Ⅲ）$f（α）=2sin（2α+\frac{π}{3}）=\frac{2}{3}$，sin（4α+$\frac{π}{6}$）=-cos（4α+$\frac{2π}{3}$）=-1+2sin²（2$α+\frac{π}{3}$）=-1+$\frac{2}{9}$=-$\frac{7}{9}$．（12分）

点评 本题考查三角函数化简求值，向量的数量积的应用，三角函数的周期的求法，考查计算能力．