Question

8．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥平面ABCD，AD=1，AB=$\sqrt{3}$，BC=4．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）若PD=4，设点E在棱PC上，$\overrightarrow{PE}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{PC}$，求三棱锥E-PAB的体积．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理得DC=2$\sqrt{3}$，从而BD⊥DC，由线面垂直得BD⊥PD，从而BD⊥面PDC，由此能证明BD⊥PC．
（2）三棱锥E-PAB的体积${V}_{E-PAB}=\frac{1}{4}{V}_{C-PAB}=\frac{1}{4}{V}_{P-CAB}$，由此能求出结果．

解答 证明：（1）∵∠DAB=90°，AD=1，AB=$\sqrt{3}$，
∴BD=2，∠ABD=30°，
∵BC∥平面PAD，∴∠DBC=60°，BC=4，
由余弦定理得DC=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}-2×4×2×cos60°}$=2$\sqrt{3}$，
∴BC²=DB²+DC²，∴BD⊥DC，
∵PD⊥平面ABCD，∴BD⊥PD，
∵PD∩CD=D，∴BD⊥面PDC，
∵PC在平面PDC内，∴BD⊥PC．
解：（2）∵PD=4，点E在棱PC上，$\overrightarrow{PE}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{PC}$，
∴三棱锥E-PAB的体积：
${V}_{E-PAB}=\frac{1}{4}{V}_{C-PAB}=\frac{1}{4}{V}_{P-CAB}$
=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}×4$
=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．