Question

在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．
（Ⅰ）求证：BC⊥AD；
（Ⅱ）若点D到平面ABC的距离等于3，求二面角A-BC-D的正弦值；
（Ⅲ）设二面角A-BC-D的大小为θ，猜想θ为何值时，四面体A-BCD的体积最大．（不要求证明）

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,棱锥的结构特征,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取BC中点O，连结AO，DO，由已知得AO⊥BC，DO⊥BC，从而BC⊥平面AOD，由此能证明BC⊥AD．
（2）由（1）知∠AOD为二面角A-BC-D的平面角，由此能求出二面角A-BC-D的正弦值．
（3）由已知条件推导出当 θ=90°时，四面体ABCD的体积最大．

解答： （Ⅰ）证明：取BC中点O，连结AO，DO，
∵△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形，
∴AO⊥BC，DO⊥BC，
∴BC⊥平面AOD，
∵AD?平面AOD，∴BC⊥AD．
（2）解：由（1）知∠AOD为二面角A-BC-D的平面角，
设∠AOD=θ，则过点D作DE⊥AD，垂足为E．
∵BC⊥平面ADO，且BC?平面ABC，
∴平面ADO⊥平面ABC．又平面ADO∩平面ABC=AO，
∴DE⊥平面ABC．
∴线段DE的长为点D到平面ABC的距离，即DE=3．
又DO=

3

2

BD=2

3

，
在Rt△DEO中，sinθ=

DE

DO

=

3

2

，
故二面角A-BC-D的正弦值为

3

2

．
（3）当 θ=90°时，四面体ABCD的体积最大．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查四面体的体积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．