Question

已知椭圆M的对称轴为坐标轴，焦点是（0，

2

），（0，-

2

），又点A（1，

2

）在椭圆M上．
（1）求椭圆M的方程；
（2）已知直线l的斜率为

2

，若直线l与椭圆M交于B、C两点，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）可设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．由题意可得：

c= 2 = a2-b2 2 a2 + 1 b2 =1

，解出即可；
（II）设直线BC的方程为y=

2

x+m，设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．代入椭圆方程并化简得4x2+2

2

mx+m2-4=0，再利用根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）可设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．
由题意可得：

c= 2 = a2-b2 2 a2 + 1 b2 =1

，
解得a²=4．
故所求椭圆方程为

y2

4

+

x2

2

=1．
（Ⅱ）设直线BC的方程为y=

2

x+m，设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
代入椭圆方程并化简得4x2+2

2

mx+m2-4=0，
由△＞0，可得m²＜8 ①．
∴x₁+x₂=-

2

2

m，x1x2=

m2-4

4

，
故|BC|=

3

|x₁-x₂|=

3 16-2m2

2

．
又点A到BC的距离为d=

|m|

3

，
∴S_△ABC=

1

2

|BC|•d=

m2(16-2m2)

4

≤

1

4 2

•

2m2+(16-2m2)

2

=

2

，
当且仅当2m²=16-2m²，即m=±2时取等号（满足①式）
∴△ABC的面积的最大值为

2

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．