Question

如图，SA⊥面ABC，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，SB=2

3

，
（1）求SC与平面ABC所成的角；
（2）求SC与平面SAB所成的角．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）首先要求SC与平面ABC所成的角，可以通过线面的垂直进行转化，求∠SCA的大小可以通过解直角三角形知识求解．
（2）要求SC与平面SAB所成的角，可以通过作垂线，转化成求∠CSD的大小，然后通过解直角三角形知识来求解．

解答： 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=1，∠ABC=30°，∴AB=2．

∵SA⊥面ABC，
∴∠SCA就是SC与平面ABC所成的角．
在Rt△SAC中，AC=1，SA=

SB2-AB2

=2

2

．
∴tan∠SCA=

SA

AC

=2

2

．
∴∠SCA=arctan 2

2

．
即SC与平面ABC所成的角为arctan 2

2

．
（2）作CD⊥AB于D，
∵SA⊥面ABC，
∴SA⊥CD，
∴CD⊥面SAB，
∴∠CSD就是SC与平面SAB所成的角．
在Rt△CDS中，CD=BC•sin 30°=

3

2

，SC=

SA2+AC2

=3，
∴sin∠CSD=

CD

SC

=

3

6

，
∴∠CSD=arcsin 

3

6

，
即SC与平面SAB所成的角为arcsin 

3

6

．
故答案为：
（1）SC与平面ABC所成的角为arctan 2

2

．
（2）SC与平面SAB所成的角为arcsin 

3

6

．

点评：本题考查的知识点：线面垂直的性质定理，线面夹角的转化，解直角三角形，三角函数的定义．