Question

如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD与底面BCD均为等腰三角形，∠BAD=∠BCD=90°，E为BD的中点，且AE⊥CE．
（Ⅰ）求证：AE⊥底面BCD；
（Ⅱ）若BD=2，求三棱锥A-BCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）利用侧面ABD为等腰三角形，E为BD的中点，证明AE⊥BD，根据AE⊥CE，利用线面垂直的判断定理证明AE⊥底面BCD；
（Ⅱ）若BD=2，求出AE=CE=1，即可求三棱锥A-BCD的体积．

解答： （Ⅰ）证明：∵侧面ABD为等腰三角形，E为BD的中点，
∴AE⊥BD，
∵AE⊥CE，BD∩CE=E，
∴AE⊥底面BCD；
（Ⅱ）解：∵BD=2，∠BAD=∠BCD=90°，
∴AE=CE=1，
∴V_A-BCD=

1

3

×

1

2

×2×1×1=

1

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，考查三棱锥A-BCD的体积，证明AE⊥底面BCD是关键．