Question

已知函数f（x）=asinx-x+b（a，b均为正常数）．
（1）求证：函数f（x）在（0，a+b]内至少有一个零点；
（2）设函数在x=

π

3

处有极值．
①对于一切x∈[0，

π

2

]，不等式f（x）＞

2

sin（x+

π

4

）恒成立，求b的取值范围；
②若函数f（x）在区间（

m-1

3

π，

2m-1

3

π）上是单调增函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由f（0）＞0，f（a+b）≤0，即可判断出；
（2）由于函数f（x）在x=

π

3

处有极值，可得f′(

π

3

)=0，解得a=2．可得f（x）=2sinx-x+b．
①

2

sin（x+

π

4

）=sinx+cosx，则不等式f（x）＞

2

sin（x+

π

4

）恒成立?b＞x+cosx-sinx对一切x∈[0，

π

2

]恒成立．记g（x）=x+cosx-sinx，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出；
②f′（x）=2cosx-1，由f′（x）≥0得-

π

3

+2kπ≤x≤

π

3

+2kπ，k∈Z．已知函数f（x）在区间（

m-1

3

π，

2m-1

3

π）上是单调增函数，可得（

m-1

3

π，

2m-1

3

π）⊆[-

π

3

+2kπ，

π

3

+2kπ]，k∈Z．解出即可．

解答： （1）证明：f（0）=b＞0，f（a+b）=asin（a+b）-（a+b）+b=a[sin（a+b）-1]≤0，
∴函数f（x）在（0，a+b]内至少有一个零点．
（2）解：f′（x）=acosx-1．
∵函数f（x）在x=

π

3

处有极值，
∴f′(

π

3

)=0，即acos

π

3

-1=0，解得a=2．
于是f（x）=2sinx-x+b．
①

2

sin（x+

π

4

）=sinx+cosx，
∴不等式f（x）＞

2

sin（x+

π

4

）恒成立?b＞x+cosx-sinx对一切x∈[0，

π

2

]恒成立．
记g（x）=x+cosx-sinx，则g′（x）=1-sinx-cosx=1-

2

sin(x+

π

4

)，
∵x∈[0，

π

2

]，∴

π

4

≤x+

π

4

≤

3π

4

，从而

2

2

≤sin(x+

π

4

)≤1，
∴1≤

2

sin(x+

π

4

)≤

2

，
∴g′（x）≤0，即g（x）在[0，

π

2

]上是减函数．
∴g（x）_max=g（0）=1，于是b＞1，故b的取值范围是（1，+∞）．
②f′（x）=2cosx-1=2(cosx-

1

2

)，
由f′（x）≥0得cosx≥

1

2

，即-

π

3

+2kπ≤x≤

π

3

+2kπ，k∈Z．
∵函数f（x）在区间（

m-1

3

π，

2m-1

3

π）上是单调增函数，
∴（

m-1

3

π，

2m-1

3

π）⊆[-

π

3

+2kπ，

π

3

+2kπ]，k∈Z．
则有

m-1 3 π≥- π 3 +2kπ，k∈Z 2m-1 3 π≤ π 3 +2kπ，k∈Z m-1 3 π＜ 2m-1 3 π

   即

6k≤m≤3k+1 m＞0，k∈Z

．
只有k=0时，0＜m≤1适合，故m的取值范围是（0，1]．

点评：本题考查了函数的零点存在判定定理、利用导数研究其单调性极值与最值、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．