Question

斜率为2的直线l在双曲线

x2

3

-

y2

2

=1上截得的弦长为

6

，求l的方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设直线l的方程为y=2x+b，设l和双曲线的两交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线方程带入双曲线方程可得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理可用b表示x₁+x₂，x₁x₂，然后求弦长等于

6

，这样可得到关于b的方程，解方程即得b的值，从而便求出来直线l的方程．

解答： 解：设直线l的方程为y=2x+b，直线l和双曲线的交点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则将y=2x+b带入

x2

3

-

y2

2

=1并整理得：
10x²+12bx+3b²+6=0；
∴x1+x2=-

6b

5

，x1x2=

3b2+6

10

；
∴|AB|=

1+4

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

•

36b2 25 - 12b2+24 10

=

6

；
∴解得b²=15，∴b=±

15

；
∴直线l的方程为：y=2x-

15

，或y=2x+

15

．

点评：考查直线的斜截式方程，直线和双曲线的相交弦的概念，弦长公式以及韦达定理．