题目内容
如图，P是菱形ABCD所在平面外一点，Q是PA中点，且QB=QD．（1）求证：PC∥平面QBD；
（2）求证：平面QBD⊥平面PAC．
考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）首先利用中点得出中位线进一步证明线面平行
（2）利用菱形的性质进一步得到线线垂直，再利用线面垂直得到面面垂直．
（2）利用菱形的性质进一步得到线线垂直，再利用线面垂直得到面面垂直．
解答：
证明：（1）连结OQ，AC，BD
∵Q是PA中点，O是AC的中点
OQ∥PC
OQ?平面QBD，PC?平面QBD
所以PC∥平面QBD
（2）A在菱形ABCD中，AC⊥BD
在△QBD中，QB=QD，
∴OQ⊥BD
∴BD⊥平面PAC．
∵BD?平面QBD
∴平面QBD⊥平面PAC
∵Q是PA中点，O是AC的中点
OQ∥PC
OQ?平面QBD，PC?平面QBD
所以PC∥平面QBD
（2）A在菱形ABCD中，AC⊥BD
在△QBD中，QB=QD，
∴OQ⊥BD
∴BD⊥平面PAC．
∵BD?平面QBD
∴平面QBD⊥平面PAC
点评：本题考查的知识要点：中位线定理，线面平行的判定定理，菱形的性质定理线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理．
练习册系列答案
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