Question

如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AB，AB=2，AD=4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD，证明：AB⊥面BDE．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：由已知条件推导出∠ABD=90°，∠EDB=∠CDB=∠ABD=90°，从而得到平面EBD⊥平面ABD，由此能够证明ED⊥AB，进而结合线面垂直的判定定理得到答案．

解答： 证明：∵BD⊥AB，
∴在Rt△ABD中，BD²=AD²-AB²，
∵AB=2，AD=4，
∴BD=2

3

，
∴△EBD中，BD²=EB²-ED²，
∴△ABD和△EBD为直角三角形，此即ED⊥DB，
而DB又是平面EBD和平面ABD的交线，
∵平面EBD⊥平面ABD，ED?平面EBD，ED?平面ABD，DB=平面EBD∩平面ABD，
∴ED⊥平面ABD，
又∵AB?平面ABD，
∴AB⊥DE，
又∵BD⊥AB，DE∩BD=D，DE，BD?平面BDE，
∴AB⊥面BDE．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面的判定与性质，面面垂直的性质，熟练掌握线面，线线，面面垂直之间的互相转化是解答的关键．