Question

如图，直线l：y=x+b与曲线C：x²=4y相切于点A．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）求由曲线C与直线l及x=0围成的图形的面积．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,定积分在求面积中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）法1：利用消元法转化为一元二次方程进行求解；法2：利用导数的几何意义进行求解．
（Ⅱ）根据积分的几何意义即可求由曲线C与直线l及x=0围成的图形的面积．

解答： 解：（Ⅰ）解法1．由

x2=4y y=x+b

得x²-4x-4b=0，ks5u
因为直线l：y=x+b与抛物线C：x²=4y相切，所以△=（-4）²-4×（-4b）=0，
解得b=-1．
解法2．设切点A（x₀，y₀），由y=

1

4

x2得y′=

1

2

x，
所以切线l在点A处的斜率为k=

1

2

x0，
因为切线l的斜率为1，则k=

1

2

x0=1，x₀=2，
又A在抛物线上，所以y0=

1

4

x

2 0

=

1

4

×22=1，
于是A的坐标为A（2，1），因为A在直线ls上，所以1=2+b，b=-1．
（II）S=

∫

2 0

[

x2

4

-(x-1)]dx=(

x3

12

-

x2

2

+x)

|

2 0

=

2

3

．

点评：本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及积分飞几何意义是解决本题的关键．