Question

定义在R上奇函数g（x）与偶函数h（x），对任意x∈R满足g（x）+h（x）=sin²x+sinx+acosx．a为实数
（1）求奇函数g（x）和偶函数f（x）的表达式；
（2）若a＞2，求函数h（x）在区间[

π

3

，π]上的最值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：（1）在所给的等式中，用-x代替x，再得到一个等式，由这两个等式解方程组求得g（x）和f（x）的表达式．
（2）根据h（x）=-（cosx-

a

2

）²+

a2

4

+1，对称轴

a

2

＞1，cosx∈[-1，

1

2

]，再利用二次函数的性质求得函数h（x）的最值．

解答： 解：（1）∵g（x）+h（x）=sin²x+sinx+acosx①，
∴g（-x）+h（-x）=sin²（-x）+sin（-x）+acos（-x）-g（x）+h（x）=sin²x-sinx+acosx②．
联立①②得h（x）=sin²x+acosx，g（x）=sinx．
（2）h（x）=1-cos²x+acosx=-（cosx-

a

2

）²+

a2

4

+1，
若a＞2，则对称轴

a

2

＞1，且x∈[

π

3

，π]时，cosx∈[-1，

1

2

]，
当cosx=-1，h（x）_min=-a，当cosx=

1

2

，h（x）_max=

a

2

+

3

4

=

2a+3

4

．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用，余弦函数的值域，二次函数的性质，属于基础题．