Question

设{a_n}是正数组成的数列，其前n项和为S_n，并且对于所有的自然数n，a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的首项，并证明数列{a_n}为等差数列；
（Ⅱ）令b_n=

an+1

an

+

an

an+1

（n∈N⁺），求证b₁+b₂+…+b_n-2n＜2．

Answer 1

考点：数列递推式,等差关系的确定

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意得

an+2

2

=

2Sn

，a_n＞0，平方可得S_n=

1

8

（a_n+2）²，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

8

（a_n+2）²-

1

8

（a_n-1+2）²，变形整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0，即可得出结论；
（Ⅱ）利用裂项法求和，即可证明结论．

解答： （Ⅰ）解：由题意得

an+2

2

=

2Sn

，a_n＞0，
平方可得S_n=

1

8

（a_n+2）²，
当n=1时，a₁=

1

8

（a₁+2）²，解得a₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

8

（a_n+2）²-

1

8

（a_n-1+2）²，
变形整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0，
由题意知a_n+a_n-1≠0，∴a_n-a_n-1=4
∴数列{a_n}为首项为2，公差为4的等差数列，
∴a_n=2+4（n-1）=4n-2
（ II）证明：令c_n=b_n-2，则cn=

an+1

an

+

an

an+1

-2=2(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
b₁+b₂+…+b_n-n=c₁+c₂+…+c_n
=[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]•2=2-

2

2n+1

．

点评：本题考查等差数列的性质，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．