Question

已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且f（4）=5．
（1）求f（2）的值；
（2）解不等式f（m-2）≤3．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由条件令x=y=2，由f（4）=5，即可得到f（2）；
（2））不等式f（m-2）≤3即为f（m-2）≤f（2），由函数的单调性即可得到m-2＞0，且m-2≥2，解出即可．

解答： 解：（1）∵对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，
∴令x=y=2，则f（4）=2f（2）-1，
∵f（4）=5，∴f（2）=3；
（2）不等式f（m-2）≤3即为f（m-2）≤f（2），
∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，
∴m-2＞0，且m-2≥2，
∴m≥4．
∴不等式的解集为[4，+∞）．

点评：本题考查抽象函数及应用，考查函数的单调性及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于基础题．