Question

9．已知直线l：y=k（x+1）-$\sqrt{3}$与圆x²+y²=12交于A、B两点，过A、B分别做l的垂线与x轴交于C、D两点，若|AB|=4$\sqrt{3}$，则|CD|=8$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据直线与圆相交，圆x²+y²=12可知：圆心为（0，0），半径r=2$\sqrt{3}$，弦长为|AB|=4$\sqrt{3}$=2r，说明直线l过圆心O所以可以得到直线AB的倾斜角．根据AOC和OBD是两个全等的直角三角形，OA=OB=2$\sqrt{3}$，
即可求出OC和OD，由直线的倾斜角即可得到|CD|的长度．

解答 解：由圆的方程x²+y²=12可知：圆心为（0，0），半径r=2$\sqrt{3}$，
∵弦长为|AB|=4$\sqrt{3}$=2r，
∴可以得知直线l经过圆心O．
∴0=k（0-1）-$\sqrt{3}$，解得k=$\sqrt{3}$，
∴直线AB的方程为：y=$\sqrt{3}$x，
设直线AB的倾斜角为θ，则tanθ=$\sqrt{3}$，
∴θ=60°，
∴在Rt△AOC中：|CO|=$\frac{|OA|}{cos60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}$=4$\sqrt{3}$，
那么：|CD|=2|OC|=8$\sqrt{3}$，
故答案为：8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．