Question

17．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{b}$+2$\sqrt{3}$csinA=2b+4c，且14sinC=3$\sqrt{3}$．
（1）求A的大小；
（2）若c=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理，正弦定理，两角差的正弦函数公式化简已知等式，结合sinC≠0，整理可得：sin（A-$\frac{π}{6}$）=1，利用正弦函数的性质可求A的值．
（2）由已知利用正弦定理可求a，进而利用余弦定理可求b，根据三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）∵$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{b}$+2$\sqrt{3}$csinA=2b+4c，
∴由余弦定理可得：2acosC+2$\sqrt{3}$csinA=2b+4c，
∴由正弦定理可得：2sinAcosC+2$\sqrt{3}$sinCsinA=2sinB+4sinC，
整理可得：$\sqrt{3}$sinCsinA=sinCcosA+2sinC，
∵sinC≠0，
∴$\sqrt{3}$sinA=cosA+2，整理可得：sin（A-$\frac{π}{6}$）=1，
∴A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，可得：A=$\frac{2π}{3}$．
（2）∵c=3，A=$\frac{2π}{3}$，14sinC=3$\sqrt{3}$，
∴a=$\frac{csinA}{sinC}$=$\frac{3×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3\sqrt{3}}{14}}$=7，
∴由余弦定理可得：7²=b²+3²-2×$b×3×（-\frac{1}{2}）$，
整理可得：b²+3b-40=0，解得：b=5，或-8（舍去），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×5×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，两角差的正弦函数公式，正弦函数的性质，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．