Question

设a＞0且a∈Q，b=

a+2

a+1

．
（Ⅰ）证明：b≠a；
（Ⅱ）写出b的取值范围；
（Ⅲ）求证：在数轴上，

2

介于a与b之间，且距a较远．

Answer 1

考点：反证法与放缩法,元素与集合关系的判断

专题：分类讨论,转化思想,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）用反证法证明，假设b=a，会推出矛盾，从而证出结论正确．
（Ⅱ）由b=

a+2

a+1

，分离常数，利用a＞0，求出b的取值范围；
（Ⅲ）由b=

a+2

a+1

，且a＞0，讨论a＞

2

和a＜

2

时，b与

2

的大小，以及与

2

作差比较距离的远近，从而证得命题成立．

解答： 解：（Ⅰ）证明：假设b=a，
∵b=

a+2

a+1

，
∴a=

a+2

a+1

，
∴a²=2，
解得a=±

2

，
又∵a＞0，
∴a=

2

，
∵a∈Q，
∴a=

2

不成立，
∴假设b=a不成立，
即b≠a；
（Ⅱ）∵b=

a+2

a+1

=1+

1

a+1

，
∵a＞0，
∴a+1＞1，
∴0＜

1

a+1

＜1，
∴1＜1+

1

a+1

＜2，
∴b的取值范围（1，2）；
（Ⅲ）∵b=

a+2

a+1

=1+

1

a+1

，且a＞0，
∴①若a＞

2

，
则a+1＞

2

+1，
∴

1

a+1

＜

1

2 +1

，
即

1

a+1

＜

2

-1，
∴1+

1

a+1

＜

2

，
即b＜

2

；
∴b＜

2

＜a，
而a-

2

＞0，

2

-b＞0，
∴（a-

2

）-（

2

-b）
=a+b-2

2

=a+（1+

1

a+1

）-2

2

=

(a+1-2 2 )(a+1)+1

a+1

=

(a+1-2 2 )2-1

a+1

，
∵a＞

2

，
∴a+1-

2

＞1，
得(a+1-

2

)2＞1，
∴(a+1-

2

)2-1＞0，
又 a+1＞0，
∴（a-

2

）-（

2

-b）＞0，
即a-

2

＞

2

-b；
②若a＜

2

，
则0＜a+1＜

2

+1，
∴

1

a+1

＞

1

2 +1

，
即

1

a+1

＞

2

-1，
∴1+

1

a+1

＞

2

，
即b＞

2

；
∴a＜

2

＜b，
∴b-

2

＞0，且

2

-a＞0，
∴（

2

-a）-（b-

2

）
=2

2

-a-b
=2

2

-a-（1+

1

a+1

）
=

(2 2 -a-1)(a+1)-1

a+1

=

1-(a+1- 2 )2

a+1

，
∵0＜a＜

2

，
∴1-

2

＜a+1-

2

＜1，
得0≤(a+1-

2

)2＜1，
∴1-(a+1-

2

)2＞0，且 a+1＞0，
∴（

2

-a）-（b-

2

）＞0
即

2

-a＞b-

2

；
终上，b＜

2

＜a 或 a＜

2

＜b 说明在数轴上

2

介于a与b之间，
而 a-

2

＞

2

-b 或

2

-a＞b-

2

，
即|

2

-a|＞|

2

-b|说明

2

到a的距离比

2

到b的距离远；
即证在数轴上

2

介于a与b之间，且距a较远．

点评：本题考查了应用反证法证明以及求取值范围和判定大小问题，也考查了作差法的应用和转化思想，是较难的题目．