Question

9．函数$y={x^2}（1-3x），x∈（0，\frac{1}{3}）$的最大值是$\frac{4}{243}$．

Answer 1

分析 由y=x²（1-3x）=$\frac{3}{2}$x•x•（$\frac{2}{3}$-2x）由0＜x＜$\frac{1}{3}$，可得$\frac{2}{3}$-2x＞0，运用三元基本不等式，即可得到所求最大值，求出取得最大值的条件．

解答 解：y=x²（1-3x）
=$\frac{3}{2}$x•x•（$\frac{2}{3}$-2x）
由0＜x＜$\frac{1}{3}$，可得$\frac{2}{3}$-2x＞0，
即有$\frac{3}{2}$x•x•（$\frac{2}{3}$-2x）≤$\frac{3}{2}$•（$\frac{x+x+\frac{2}{3}-2x}{3}$）³=$\frac{3}{2}$•$\frac{8}{729}$=$\frac{4}{243}$，
当且仅当x=$\frac{2}{3}$-2x，即x=$\frac{2}{9}$＜$\frac{1}{3}$，函数y取得最大值$\frac{4}{243}$．
故答案为：$\frac{4}{243}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用三元基本不等式，以及满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．