题目内容
4．已知f（x）=x3+x2+ax，a∈R是常数，若曲线y=f（x）有且仅有一条平行于直线y=x的切线，求a．分析 设出平行于直线y=x且与曲线相切的切点为（m，n），求出f（x）的导数，可得切线的斜率，由题意可得关于m的方程3m2+2m+a-1=0有两个相等实数根，由判别式为0，可得a的值．
解答 解：设平行于直线y=x且与曲线相切的切点为（m，n），
由f（x）=x3+x2+ax的导数为f′（x）=3x2+2x+a，
可得切线的斜率为3m2+2m+a=1，
曲线y=f（x）有且仅有一条平行于直线y=x的切线，
可得关于m的方程3m2+2m+a-1=0有两个相等实数根，
则△=4-12（a-1）=0，
解得a=$\frac{4}{3}$．
点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查转化思想，运用二次方程有两个实根的条件，考查运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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7．在平面直角坐标系中，点M的直角坐标是$（\sqrt{3}，-1）$．若以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，则点M的极坐标可以是（ ）
| A． | $（2，\frac{π}{6}）$ | B． | $（-2，\frac{5π}{6}）$ | C． | $（2，-\frac{5π}{6}）$ | D． | $（-2，-\frac{π}{6}）$ |