Question

18．已知函数f（x）=$\frac{m•{4}^{x}+1}{{2}^{x}}$-m（m∈R）．
（1）若函数f（x）有零点，求实数m的取值范围；
（2）若对任意的x∈[-1，0]，都有0≤f（x）≤1，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）依题意只需m•4^x-m•2^x+1=0有解，⇒m=-$\frac{1}{{4}^{x}-{2}^{x}}$，（x≠0），求出-$\frac{1}{{4}^{x}-{2}^{x}}$的范围，即可求得实数m的取值范围；
（2）令t=2^x，（$\frac{1}{2}≤$t≤1），只需$\left\{\begin{array}{l}{mt+\frac{1}{t}-m≥0}\\{mt+\frac{1}{t}-m≤1}\end{array}\right.$在t∈[$\frac{1}{2}$，1）恒成立即可，分别求解实数m的取值范围即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）有零点，∴方程$\frac{m•{4}^{x}+1}{{2}^{x}}$-m=0有解，
?m•4^x-m•2^x+1=0有解，⇒m=-$\frac{1}{{4}^{x}-{2}^{x}}$，（x≠0），
令t=2^x，（t＞0），4^x-2^x=t²-t$∈[-\frac{1}{4}，0）∪（0，+∞）$，
则-$\frac{1}{{4}^{x}-{2}^{x}}$∈[4，+∞）∪（-∞，0），
∴实数m的取值范围为：[4，+∞）∪（-∞，0）；
（2）令t=2^x，（$\frac{1}{2}≤$t≤1），
对任意的x∈[-1，0]，都有0≤f（x）≤1，
当x=0，即t=1时，显然成立，
只需$\left\{\begin{array}{l}{mt+\frac{1}{t}-m≥0}\\{mt+\frac{1}{t}-m≤1}\end{array}\right.$在t∈[$\frac{1}{2}$，1）恒成立即可．
①m$≤-\frac{1}{{t}^{2}-t}$，
在t∈[$\frac{1}{2}$，1）时，-$\frac{1}{{t}^{2}-t}∈[4，+∞）$，∴m≤4，
$②mt+\frac{1}{t}-m≤1$⇒m≤$\frac{1}{t}$，⇒m≤1，
综上，实数m的取值范围为（-∞，1]．

点评 本题考查了函数零点问题、不等式恒成立问题处理方法，考查了分类思想，属于中档题．