Question

12．已知点M为椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上的点，则M到直线x+2y-10=0的距离的最小值是（　　）

• A． $\frac{7\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{6\sqrt{5}}{5}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． 2

Answer 1

分析 根据题意，设出椭圆的参数方程，即可得M的坐标可以表示为（3cosθ，2sinθ），利用点到直线的距离公式可得M到直线x+2y-10=0的距离d=$\frac{|3cosθ+4sinθ-10|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{|5sin（θ+ρ）-10|}{\sqrt{5}}$，由三角函数的性质分析可得答案．

解答 解：根据题意，椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
则其参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数）
则M的坐标可以表示为（3cosθ，2sinθ），
M到直线x+2y-10=0的距离d=$\frac{|3cosθ+4sinθ-10|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{|5sin（θ+ρ）-10|}{\sqrt{5}}$，
分析可得：d的最小值为$\sqrt{5}$；
故选：C．

点评 本题考查椭圆的几何性质，关键是设出椭圆的参数方程，利用三角函数的性质求出距离的最小值．