Question

如图，圆C₁：（x-a）²+y²=r²（r＞0）与抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的一个交点M（2，1），且抛物线在点M处的切线过圆心C₁．求C₁和C₂的标准方程．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据M在抛物线C₂上，求出抛物线方程，进而得到C₂在点M处的切线方程求出圆心的坐标，再结合M在圆C₁上即可求出圆C₁的标准方程．

解答： 解：把M（2，1）代入C₂：x²=2py（p＞0）得p=2，
故C₂：x²=4y…（6分）
由y=

1

4

x2得y′=

1

2

x，
从而C₂在点M处的切线方程为y-1=x-2…（8分）
令y=0有x=1，圆心C₁（1，0），…（10分）
又M（2，1）在圆C₁上
所以（2-1）²+1=r²，解得r²=2，故C₁：（x-1）²+y²=2…（13分）

点评：本题主要考查圆与圆锥曲线的综合问题，涉及到抛物线以及圆的标准方程的求法，考查了基本的分析问题的能力和基础的运算能力．