Question

过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC
（1）若PA=PB=PC，∠C=90°，则点O是AB边的

 

点；
（2）若PA=PB=PC，则点O是△ABC的

 

心；
（3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的

 

心．

Answer 1

考点：棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件利用射影定理得OA=OB=OC，所以点O是△ABC的外心．根据直角三角形判断即可．
（2）由已知条件利用射影定理得OA=OB=OC，所以点O是△ABC的外心．
（3）连接AO并延长交BC于一点E，连接PO，由于PA，PB，PC两两垂直可以得到PA⊥面PBC，而BC?面PBC，可得BC⊥PA，由PO⊥平面ABC于O，BC?面ABC，PO⊥BC，可得BC⊥AE，同理可以证明才CH⊥AB，又BG⊥AC．故O是△ABC的垂心．

解答： 解：（1）∵过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，
连接PA，PB，PC．PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC，
∴点O是△ABC的外心．
∵∠C=90°，
∴O在Rt△ABC的外心在斜边AB的中点．
（2）∵过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，
连接PA，PB，PC．PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC，
∴点O是△ABC的外心．

（3）连接AO并延长交BC于一点E，连接PO，
∵PA，PB，PC两两垂直，即PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，
∴可以得到PA⊥面PBC
，而∵BC?面PBC，∴BC⊥PA，
∵PO⊥平面ABC于O，BC?面ABC
∴PO⊥BC，∴BC⊥平面APE，
∵AE?面APE，∴BC⊥AE；
同理可以证明才HC⊥AB，又BG⊥AC．

∴O是△ABC的垂心．

点评：本题考查三角形的外心的求法，是基础题，注意射影定理的合理运用，直线与平面垂直的性质，解题时要注意数形结合，属于基本知识的考查．