Question

已知正项数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N₊），令b_n=log₂（a_n+1）．
（Ⅰ） 求证：数列{b_n}为等比数列；
（Ⅱ） 记T_n为数列{

1

log2bn+1•log2bn+2

}的前n项和，是否存在实数a，使得不等式T_n＜a-

3

a

-1对?n∈N^*恒成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由于正项数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N₊），变形an+1+1=(an+1)2，两边取对数可得：log₂（a_n+1+1）=2log₂（a_n+1）．即b_n+1=2b_n，可得数列
{b_n}为等比数列．
（II）由（I）可得bn=2n-1．于是

1

log2bn+1log2bn+2

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．利用“裂项求和”可得数列{

1

log2bn+1•log2bn+2

}的前n项和T_n=1-

1

n+1

．对?n∈N^*恒有1-

1

n+1

＜1，假设存在实数a，使得不等式T_n＜a-

3

a

-1对?n∈N^*恒成立，则a-

3

a

-1＞1，解出即可．

解答： （I）证明：∵正项数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N₊），
∴an+1+1=(an+1)2，
两边取对数可得：log₂（a_n+1+1）=2log₂（a_n+1）．
∵b_n=log₂（a_n+1），
∴b_n+1=2b_n，b₁=log₂（a₁+1）=1．
∴数列{b_n}为等比数列．
（II）解：由（I）可得bn=2n-1．
∴

1

log2bn+1log2bn+2

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴数列{

1

log2bn+1•log2bn+2

}的前n项和T_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

．
∵1-

1

n+1

＜1，
假设存在实数a，使得不等式T_n＜a-

3

a

-1对?n∈N^*恒成立，则a-

3

a

-1＞1，化为

a2-2a-3

a

＞0，∴a（a-3）（a+1）＞0，
解得-1＜a＜0或a＞3．
∴存在实数a∈（-1，0）∪（3，+∞），使得不等式T_n＜a-

3

a

-1对?n∈N^*恒成立．

点评：本题考查了等比数列的定义及其通项公式、“裂项求和”、“取对数法”、不等式的解法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．