题目内容
已知函数f（x）=
，研究函数f（x）的基本性质并给出证明．
| ex+e-x |
| ex-e-x |
考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断
专题：计算题,函数的性质及应用
分析：化简f（x）=
=1+
，由分母不为0，和指数函数的值域，运用奇偶性的定义和单调性的定义，注意解题步骤，即可得到．
| e2x+1 |
| e2x-1 |
| 2 |
| e2x-1 |
解答：
解：函数f（x）=
=
=1+
，
则由e2x-1≠0，解得，x≠0，定义域为{x|x≠0}，
由e2x=
＞0，解得，y＞1或y＜-1．即值域为（-∞，-1）∪（1，+∞）；
由于f（-x）=
=
=-f（x），则f（x）为奇函数；
由于令0＜m＜n，则f（m）-f（n）=1+
-（1+
）
=
，由于0＜m＜n，则e2m-1＞0，e2n-1＞0，e2n＞e2m，
则有f（m）-f（n）＞0，f（x）在x＞0上递减，
再由奇函数，可得f（x）在x＜0上递减，
故f（x）在（0，+∞），（-∞，0）递减．
| ex+e-x |
| ex-e-x |
| e2x+1 |
| e2x-1 |
| 2 |
| e2x-1 |
则由e2x-1≠0，解得，x≠0，定义域为{x|x≠0}，
由e2x=
| 1+y |
| y-1 |
由于f（-x）=
| e-2x+1 |
| e-2x-1 |
| 1+e2x |
| 1-e2x |
由于令0＜m＜n，则f（m）-f（n）=1+
| 2 |
| e2m-1 |
| 2 |
| e2n-1 |
=
| 2(e2n-e2m) |
| (e2m-1)(e2n-1) |
则有f（m）-f（n）＞0，f（x）在x＞0上递减，
再由奇函数，可得f（x）在x＜0上递减，
故f（x）在（0，+∞），（-∞，0）递减．
点评：本题考查函数的定义域和值域、单调性和奇偶性的判断和证明，注意运用定义，考查运算能力，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
下列有关命题的说法正确的是（ ）
| A、命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1” |
| B、“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件 |
| C、命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题 |
| D、若命题p：“?x0∈R使x02+x0+1＜0”，则￢p为假命题 |
如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C，D．现测得∠BCD=60°，∠DBC=45°，CD=20m，并在点C测得塔顶A的仰角为45°，求塔高AB（精确到0.1，