Question

15．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，$f（x）={（\frac{1}{3}）^x}$
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）直接写出单调区间，并计算f（log₃2+1）的值．

Answer 1

分析 （1）求出f（0）=0，x＜0时，函数的解析式，即可求函数f（x）的解析式；
（2）根据函数解析式，直接写出单调区间，并计算f（log₃2+1）的值．

解答 解：（1）因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0
当x＜0时，-x＞0，$f（x）=-f（-x）=-{（{\frac{1}{3}}）^{-x}}=-{3^x}$
所以函数的解析式为$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{3^x}（x＜0）\\ 0（x=0）\\{（{\frac{1}{3}}）^x}（x＞0）\end{array}\right.$…（4分）
（2）f（x）的单调递减区间是（-∞，0），（0，+∞）…（6分）$f（{log_3}2+1）={（\frac{1}{3}）^{{{log}_3}2+1}}=\frac{1}{{{3^{{{log}_3}2}}•3}}=\frac{1}{2×3}=\frac{1}{6}$…（8分）

点评 本题考查函数解析式的求解，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．