Question

6．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G分别为A₁B₁，BB₁，B₁C₁的中点，则AC₁
与D₁E所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{30}$，AC₁与平面EFG所成角的正弦值为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，利用向量方法求出所求角．

解答 解：建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，可得A（2，0，0），C₁（0，2，2），D₁（0，0，2），E（2，1，2），F（2，2，1），G（1，2，2），则
$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-2，2，2），$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（2，1，0），
∴AC₁与D₁E所成角的余弦值为|$\frac{-4+2}{\sqrt{4+4+4}•\sqrt{4+1}}$|=$\frac{\sqrt{15}}{30}$；
平面EFG的一个法向量为（2，2，2），AC₁与平面EFG所成角的正弦值为$\frac{-4+4+4}{2\sqrt{3}•2\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$，
故答案为$\frac{\sqrt{15}}{30}$；$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线线角，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题．