Question

如图，四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=

2

，AB=AC，CE与平面ABE所成的角为45°．
（1）证明：AD⊥CE；
（2）求二面角A-CE-B的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质

专题：空间角

分析：（1）根据线面垂直的性质，即可证明：AD⊥CE；
（2）求出二面角的平面角，即可求二面角A-CE-B的正切值．

解答： 证明：（1）如图，取BC的中点H，连接HD交CE于点P，
连接 AH、AP．
∵AB=AC，
∴AH⊥BC
又∵平面ABC⊥平面BCDE，
∴AH⊥平面BCDE，
∴AH⊥CE，
又∵

HC

CD

=

CD

DE

=

1

2

，
∴Rt△HCD∽Rt△CDE
∴∠CDH=∠CED，
∴HD⊥CE
∴CE⊥平面AHD
∴AD⊥CE．
（2）由（1）CE⊥平面AHD，∴AP⊥CE，
又HD⊥CE
∴∠APH就是二面角A-CE-B 的平面角，
过点C作CG⊥AB，垂足为G，连接CG、EG．
∵BE⊥BC，且BE⊥AH，
∴BE⊥平面ABC，
∴BE⊥CG，
∴CG⊥平面ABE，
∴∠CEG就是CE与平面ABE所成的角，即∠CEG=45°，
又CE=

6

，∴CG=EG=

3

．
又BC=2，∴∠ABC=60°，
∴AB=BC=AC=2，
∴AH=

3

又HD=

3

，∴HP=

CH2

HD

=

3

3

，
∴tan∠APH=

AH

HP

=3．

点评：本题主要考查空间直线垂直的证明，以及二面角大小的求解，考查学生的运算推理能力．