Question

以下四个关于圆锥曲线的结论中：
①双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y²=1有相同的焦点；
②已知抛物线y²=4x，过点P（4，0）的直线与抛物线相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，则y₁²+y₂²的最小值不存在；
③双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左焦点为F₁，顶点为A₁、A₂，P是双曲线上任意一点，则分别以线段PF₁、A₁A₂为直径的两圆的位置关系为内切或外切；
④椭圆

x2

25

+

y2

16

=1的左右焦点分别为F₁，F₂，弦AB过F₁，若△ABF₂的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则|y₁-y₂|值为

5

3

；
其中结论正确的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据椭圆、双曲线的定义和性质，结合圆的位置关系，韦达定理等知识点对题目中的四个结论逐一判断，可得答案．

解答： 解：对于①双曲线

x2

25

-

y2

9

=1的焦点为（±

34

，0），椭圆

x2

35

+y²=1的焦点为（±

34

，0），故正确；
对于②已知抛物线y²=4x，过点P（4，0）的直线与抛物线相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，则当直线与x轴垂直时y₁²+y₂²的最小值为32，故错误；
对于③设以线段PF₁、A₁A₂为直径的两圆的半径分别为r₁、r₂，若P在双曲线坐支，如图所示，
则|O₁O₂|=

1

2

|PF₂|=

1

2

（|PF₁|+2a）=

1

2

|PF₁|+a=r₁+r₂，即圆心距为半径之和，两圆外切．

若P在双曲线右支，同理求得|O₁O₂|=r₁-r₂，故此时，两圆相内切．故正确；
对于④椭圆

x2

25

+

y2

16

=1的左右焦点分别为F₁，F₂，弦AB过F₁，若△ABF₂的周长为：20，由内切圆周长为π，可得内切圆半径为：

1

2

，
故△ABF₂的面积为：5，即c|y₁-y₂|=3|y₁-y₂|=5，则|y₁-y₂|值为

5

3

；故正确；
故答案为：①③④

点评：本题考查圆与圆的位置关系及其判定，椭圆、双曲线的定义和简单性质的应用，考查数形结合思想方法，是中档题．