Question

已知数列{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=2，且a₂，a₄，a₈成等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）设数列{b_n-a_n}是等比数列，且b₂=7，b₅=91，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：等比数列的前n项和,等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（II）由于b₂-a₂=7-4=3，b₅-a₅=91-10=81，设等比数列{b_n-a_n}的公比为q，可得81=3q³，解得q=3．可得b_n-a_n=(b2-a2)qn-2．

解答： 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，
∵a₂，a₄，a₈成等比数列，
∴

a

2 4

=a2a8，
∴（2+3d）²=（2+d）（2+7d），
化为d²-2d=0，d≠0．
解得d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（II）b₂-a₂=7-4=3，
b₅-a₅=91-10=81，
设等比数列{b_n-a_n}的公比为q，
则81=3q³，解得q=3．
∴b_n-a_n=(b2-a2)qn-2=3×3^n-2=3^n-1．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=

3n-1

3-1

=

1

2

(3n-1)．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．