Question

已知函数f（x）=

e-x-2(x≤0) 2ax-1(x＞0)

（a是常数且a＞0）．给出下列命题：
①函数f（x）的最小值是-1；
②函数f（x）在R上是单调函数；
③函数f（x）在（-∞，0）的零点是（ln

1

2

，0）；
④若f（x）＞0，在[

1

2

，+∞）上恒成立，则a的取值范围是（1，+∞）；
⑤对任意的x₁，x₂＜0且x₁≠x₂，恒有f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

．
其中正确命题的序号是

 

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：画出函数f（x）=

e-x-2(x≤0) 2ax-1(x＞0)

（a是常数且a＞0）的图象：
①由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是-1；
②只需说明函数f（x）在R上的单调性即可；
③函数f（x）在（-∞，0）的零点是ln

1

2

，
④只需说明f（x）＞0在[

1

2

，+∞）上恒成立，则当x=

1

2

时，函数取得最小值，从而求得a的取值范围是a＞1；
⑤已知函数在（-∝，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，故D正确．

解答： 解：函数f（x）=

e-x-2(x≤0) 2ax-1(x＞0)

（a是常数且a＞0）的图象如下所示：

①由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是-1；故正确；
②由图象说明函函数f（x）在R上不是单调函数；故错；
③函数f（x）在（-∞，0）的零点是ln

1

2

，故错
④只需说明f（x）＞0在[

1

2

，+∞）上恒成立，则当x=

1

2

时，函数取得最小值，求得a的取值范围是a＞1；故正确；
⑤已知函数函数在（-∝，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，
即f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

，故正确．
故答案为：①④⑤．

点评：利用函数的图象研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值是常用的方法，解答本题的关键是图象法．