题目内容

18．某青年教师近五年内所带班级的数学平均成绩统计数据如下（满分均为150分）：
年份x年20112012201320142015
平均成绩y分9798103108109
（Ⅰ）利用所给数据，求出平均分与年份之间的回归直线方程$\widehat{y}$=bx+a，并判断它们之间是正相关还是负相关．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该教师2016年所带班级的数学平均成绩．
（Ⅲ）能否利用该回归方程估计该教师2030年所带班级的数学平均成绩？为什么？
（b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$）

分析 （Ⅰ）先利用数据平均值的公式求出x，y的平均值，再计算b，a的值，即可求出平均分与年份之间的回归直线方程，根据b＞0，可得成绩与年份成正相关关系；
（Ⅱ）x=2016，代入回归直线方程，即可预测该教师2016年所带班级的数学平均成绩；
（Ⅲ）模型只能适用于样本数据接近的年份．

解答 解：（Ⅰ）由题意，$\overline{x}$=2013，$\overline{y}$=103，
b=$\frac{（-2）（-6）+（-1）（-5）+0×0+1×5+2×6}{4+1+0+1+4}$=3.4，a=103-3.4×2013=-6741.2
∴y=3.4x-6741.2，
∵b＞0
∴成绩与年份成正相关关系；
（Ⅱ）y=3.4x-6741.2=3.4×2.15-6741.2=113.2
∴预测2016年该班的数学平均成绩为113.2；
（Ⅲ）x=2030时，y=160.8＞150，可见不能用此该回归方程估计该教师2030年所带班级的数学平均成绩，因为该模型只能适用于样本数据接近的年份．

点评 解决线性回归直线的方程，利用最小二乘法求出直线的截距和斜率，利用回归直线方程可预测．

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