Question

定义域为R的函数f（x）满足条件：①[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＞0（x₁，x₂∈R⁺，x₁≠x₂）；②f（x）+f（-x）=0（x∈R）；③f（-3）=0．则不等式x•f（x）＜0的解集是

 

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Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件判断出函数为奇函数，且在（0，+∞）和（-∞，0）上为增函数，根据不等式，分x＞0，和x＜0讨论即可．

解答： 解：∵f（x）+f（-x）=0（x∈R）；
∴函数f（x）为奇函数，
∵[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＞0（x₁，x₂∈R⁺，x₁≠x₂）；
∴函数f（x）在（0，+∞）为增函数，
∴函数f（x）在（-∞，0）也为增函数，
∵f（-3）=0．
∴f（3）=0，
当x＞0时，
∵x•f（x）＜0，
∴f（x）＜0
∴0＜x＜3，
当x＜0时，
∵x•f（x）＜0，
∴f（x）＞0，
∴x＜-3
故原不等式的解集为（-∞，-3）∪（0，3），
故答案为：（-∞，-3）∪（0，3）

点评：本题主要考查了抽象函数的应用，利用函数的单调性和奇偶性，需要分类讨论，属于中档题．