Question

一个无穷等比数列，公比为q，|q|＜1，前两项之和为

1

2

，且所有奇数项和比所有偶数项和大2，求公比q和首项a．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：由前两项之和为

1

2

列出一个方程，再由等比数列的前n项和分别求出奇数项和偶数项的和后，作差后取极限列出一个方程，联立两个方程求得等比数列的公比和首项．

解答： 解：∵前两项之和为

1

2

，
∴a+aq=

1

2

，①
∵所有奇数项和比所有偶数项和大2，|q|＜1，
∴

lim

n→∞

a(1-q2n)

1-q2

-

lim

n→∞

aq(1-q2n)

1-q2

=

a

1-q2

-

aq

1-q2

=2，②
由①②解得，

a=1 q=- 1 2

或

a=-1 q=- 3 2

舍去，
所以公比q为-

1

2

、首项a为1．

点评：本题考查了等比数列的前n项和、通项公式，考查了数列的极限及求法，是中档题．