Question

己知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=

2n+1an

an+2n

 （n∈N^*），
（Ⅰ）证明数列{ 

2n

an

 }是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n）的通项公式；
（Ⅲ）设b_n=n（n+1）a_n 求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由a_n+1=

2n+1an

an+2n

（n∈N^*）变形两边取倒数即可得出；
（Ⅱ）由（I）利用等差数列的通项公式即可得出；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，b_n=n（n+1）a_n=n•2ⁿ，利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=

2n+1an

an+2n

（n∈N^*），
∴

2n+1

an+1

=

2n

an

+1，即

2n+1

an+1

-

2n

an

=1，
∴数列{

2n

an

}是公差为1的等差数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得

2n

an

=

2

a1

+n-1=n+1，
∴an=

2n

n+1

．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，b_n=n（n+1）a_n=n•2ⁿ，
∴S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2S_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减得：-S_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(2n-1)

2-1

-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了变形的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．