Question

某小区想利用一矩形空地ABCD建造市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一个水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD=60m，AB=40m，且△EFG中，∠EGF=90°，经测量得到AE=10m，EF=20m．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G作一条直线交AB，DF于M，N，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场．
（Ⅰ）假设DN=x（m），试将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数，并注明函数的定义域；
（Ⅱ）问：应如何设计，可使市民健身广场的面积最大？并求出健身广场的最大面积．

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：应用题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）作GH⊥EF，垂足为H，过M作MT∥BC交CD于T，则有S_MBCDW=S_MBCT+S_MTDN=(40-AM)×60+

1

2

(x+60)×AM，可解得y=2400-

5(60-x)2

40-x

，从而可得五边形MBCDN的面积y表示为x的函数；
（2）将函数变形，利用基本不等式，可求市民健身广场的面积最大值．

解答： 解：（Ⅰ）作GH⊥EF，垂足为H，
因为DN=x，所以NH=40-x，NA=60-x，
因为

NH

HG

=

NA

AM

，
所以

40-x

10

=

60-x

AM

，所以AM=

600-10x

40-x

，
过M作MT∥BC交CD于T，则

S_MBCDW=S_MBCT+S_MTDN=(40-AM)×60+

1

2

(x+60)×AM，
所以y=(40-

600-10x

40-x

)×60+

1

2

×

(x+60)(600-10x)

40-x

=2400-

5(60-x)2

40-x

，
由于N与F重合时，AM=AF=30适合条件，故x∈（0，30]，
（Ⅱ）y=2400-

5(60-x)2

40-x

=2400-5[(40-x)+

400

40-x

+40]，
所以当且仅当40-x=

400

40-x

，即x=20∈（0，30]时，y取得最大值2000，
答：当DN=20m时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为2000m²．

点评：本题主要考察了解三角形的实际应用，不等式的解法及应用，属于中档题．基本不等式应注意其使用条件：一正二定三相等．