Question

在△ABC中，cos²

A

2

=

b+c

2c

=

9

10

，c=5，求△ABC的外接圆半径的长．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，表示出cosA，再利用余弦定理表示出cosA，两者相等变形后，利用勾股定理得到三角形为直角三角形，利用直角三角形外接圆直径为斜边上，即可确定出外接圆半径．

解答： 解：∵在△ABC中，cos²

A

2

=

cosA+1

2

=

b+c

2c

，即cosA+1=

b+c

c

=

b

c

+1，
∴cosA=

b

c

，
由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

，即

b2+c2-a2

2bc

=

b

c

，
整理得：b²+c²-a²=2b²，即c²=a²+b²，
∴△ABC为直角三角形，∠C=90°，
∵c=5，
∴△ABC的外接圆半径长为2.5．

点评：此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．