Question

若不等式|x+

4

x

|≥|m-2|+1对一切非零实数x均成立，记实数m的取值范围为M．已知集合A={x|x∈M}，集合B={x∈R|x²-x-6＜0}，则集合A∩B=

 

．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,交集及其运算

专题：函数的性质及应用,集合

分析：根据题意设f（x）=|x+

4

x

|，求出函数的定义域和f（-x），判断出函数的奇偶性，利用基本不等式求出函数的最小值，再求出m的范围，由交集的运算求出A∩B．

解答： 解：设f（x）=|x+

4

x

|，则函数的定义域为{x|x≠0}，
因为f（-x）=|-x+

4

-x

|=|x+

4

x

|=f（x），
所以函数f（x）=|x+

4

x

|是偶函数，
当x＞0时，x+

4

x

≥2

x• 4 x

=4，当且仅当x=

4

x

时取等号，
所以函数f（x）=|x+

4

x

|的最小值是4，
因为不等式|x+

4

x

|≥|m-2|+1对一切非零实数x均成立，
所以4≥|m-2|+1，即|m-2|≤3，解得-1≤m≤5，则集合A={x|-1≤x≤5}，
又B={x∈R|x²-x-6＜0}={x|-2＜x＜3}，所以集合A∩B={x|-1≤x＜3}，
故答案为：{x|-1≤x＜3}．

点评：本题考查交集及其运算，函数的奇偶性的应用，基本不等式求函数的最值，恒成立问题转化为求函数的最值问题，以及绝对值不等式、二次不等式的解法等．