Question

4．设F₁，F₂为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1的两个焦点，已知点P在此双曲线上，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0．若此双曲线的离心率等于$\frac{\sqrt{5}}{2}$，则点P到x轴的距离等于$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 设出点P坐标（x，y），由PF₁⊥PF₂得到一个方程，将此方程代入双曲线的方程，消去x，求出|y|的值，即得点P到x轴的距离．

解答 解：设点P（x，y），
由双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1，双曲线的离心率等于$\frac{\sqrt{5}}{2}$，可得a=2，
∴F₁（-$\sqrt{5}$，0）、F₂（$\sqrt{5}$，0），
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴PF₁⊥PF₂，
∴$\frac{y-0}{x+\sqrt{5}}$•$\frac{y-0}{x-\sqrt{5}}$=-1，
∴x²+y²=5，
代入双曲线方程$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，
∴y²=$\frac{1}{5}$，
∴|y|=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴P到x轴的距离是$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故答案为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题以双曲线为载体，考查双曲线的几何性质，考查双曲线方程的运用，属于基础题．