Question

19．双曲线$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$的两渐近线与圆x²+y²-2ax+1=0没有公共点，则实数a的取值范围是$（-\frac{{\sqrt{5}}}{2}，-1）∪（1，\frac{{\sqrt{5}}}{2}）$．

Answer 1

分析 求出双曲线$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$的两渐近线方程、圆x²+y²-2ax+1=0的圆心坐标、半径，利用点到直线的距离公式，建立不等式，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$的两渐近线方程为y=±$\frac{1}{2}$x，圆x²+y²-2ax+1=0的圆心坐标为（a，0），半径为$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
∵双曲线$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$的两渐近线与圆x²+y²-2ax+1=0没有公共点，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|a|}{\sqrt{5}}$＞$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
∴a∈$（-\frac{{\sqrt{5}}}{2}，-1）∪（1，\frac{{\sqrt{5}}}{2}）$，
故答案为$（-\frac{{\sqrt{5}}}{2}，-1）∪（1，\frac{{\sqrt{5}}}{2}）$．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．