Question

8．已知f（x）=x+$\frac{m}{x}$（m∈R）．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）若m=4，证明f（x）是（2，+∞）上的增函数，并求f（x）在[-8，-2]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的定义进行判断即可；
（2）利用导数判断函数的单调性，即可得出结论．

解答 解：（1）函数的定义域为{x|x≠0}．
∵f（-x）=-x+$\frac{m}{-x}$=-x-$\frac{m}{x}$=-f（x），
∴f（x）是奇函数；
证明：（2）m=4，f（x）=x+$\frac{4}{x}$，f′（x）=$\frac{{x}^{2}-4}{{x}^{2}}$，
x＞2时，f′（x）＞0，
∴f（x）是（2，+∞）上的增函数，
∵f（x）是奇函数，
∴f（x）在[-8，-2]上单调递增，
∵f（-8）=-10，f（-2）=-4
∴f（x）在[-8，-2]上的值域是[-10，-4]．

点评 本题考查奇函数的定义，考查函数的单调性与值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．