Question

已知函数f（x）=

x3

3

+

mx2+(m+n)x+1

2

的两个极值点分别为x₁，x₂，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数y=log_a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为（　　）

• A、（1，3]
• B、（1，3）
• C、（3，+∞）
• D、[3，+∞）

Answer 1

考点：简单线性规划,复合命题的真假

专题：数形结合,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：求出函数f（x）的导函数，由原函数的两个极值点分别在（0，1），（1，+∞）内列式得到m，n的关系，作出可行域，由函数y=log_a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点得到对数不等式，求解不等式得实数a的取值范围．

解答： 解：∵函数f（x）=

x3

3

+

mx2+(m+n)x+1

2

的两个极值点分别为x₁，x₂，
且x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），
∴y′=x2+mx+

m+n

2

=0的两根x₁，x₂满足0＜x₁＜1＜x₂，
则x₁+x₂=-m，x₁x₂=

m+n

2

＞0，
(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=

m+n

2

+m+1＜0，
即n+3m+2＜0，
∴-m＜n＜-3m-2，
作平面区域如图：

∴m＜-1，n＞1．
∵y=log_a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，
∴log_a（-1+4）＞1，即

lg3

lga

＞1，
∵a＞1，∴lga＞0，
∴1g3＞lga．
解得1＜a＜3．
故选：B．

点评：本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了简单的线性规划，体现了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．