Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，且直线x-y+b=0是抛物线y²=4x的一条切线．
（1）求椭圆C的方程．
（2）过点S（0，-

1

2

）且斜率为1的直线l交椭圆C于M，N两点，求△OMN的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）直线代入抛物线方程，利用直线x-y+b=0与抛物线y²=4x相切，可得△=（2b-4）²-4b²=0，求出b，再利用椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，求出a，即可求椭圆C的方程；
（2）直线l的方程为y=x-

1

2

，与

x2

2

+y²=1联立消y，求出|MN|及原点O到直线l的距离，即可求△OMN的面积．

解答： 解：（1）由

x-y+b=0 y2=4x

⇒x²+（2b-4）x+b²=0．
∵直线x-y+b=0与抛物线y²=4x相切，
∴△=（2b-4）²-4b²=0⇒b=1．
∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
∴a=

2

，
∴所求椭圆方程为

x2

2

+y²=1．
（2）由已知得直线l的方程为y=x-

1

2

，与

x2

2

+y²=1联立消y得3x²-2x-

3

2

=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=

2

3

，x₁•x₂=-

1

2

，
∴（y₁-y₂）²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=

22

9

，
∴|MN|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2 11

3

．
又原点O到直线l的距离为d=

1

2 2

，
∴S_△OMN=

1

2

×

2 11

3

×

1

2 2

=

22

2

．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，正确运用韦达定理是关键．