Question

已知函数f（x）=e^x-bx．
（Ⅰ） 若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线平行于x轴，求实数b的值；
（Ⅱ）若?x∈（0，+∞），f（x）≥0成立，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）求证：

1

2

+

2

3

+…+

n

n+1

＞n-ln(n+1)(n∈N*)．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用导函数在x=0处的值等于零，可以求出b的值．
（Ⅱ）在x＞0时，函数的最小值大于等于0，求出b的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，取b的一个特殊值为e时，再利用（Ⅱ）的结论，利用累加法即可证明不等式．

解答： 解：（Ⅰ） f（x）=e^x-bx，f'（x）=e^x-b，
∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线平行于x轴，∴f′（0）=0，即1-b=0，∴b=1．
（Ⅱ）依题意得，不等式e^x-bx≥0即b≤

ex

x

在（0，+∞）恒成立，
设g(x)=

ex

x

（x＞0），则g′(x)=

ex(x-1)

x2

，
当x∈（0，1）时，g'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，
∴函数g（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
∴x∈（0，+∞），g（x）_min=g（1）=e，∴b≤e．
∴实数b的取值范围为（-∞，e]．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当b=e时，?x∈（0，+∞），f（x）=e^x-ex≥0
（当且仅当x=1时等号成立）∴x∈（0，+∞），e^x≥ex，∴lne^x≥lnex，即x≥1+lnx，（当且仅当x=1时等号成立），
设x=

n

n+1

，（n∈N*），则

n

n+1

＞1+ln

n

n+1

，
∴

1

2

+

2

3

+…+

n

n+1

＞(1+ln

1

2

)+(1+ln

2

3

)+…+(1+ln

n

n+1

)，
又(1+ln

1

2

)+(1+ln

2

3

)+…+(1+ln

n

n+1

)=n+ln(

1

2

•

2

3

•…•

n

n+1

)=n+ln

1

n+1

=n-ln（n+1）
∴

1

2

+

2

3

+…+

n

n+1

＞n-ln(n+1)．

点评：本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归转化思想、函数方程的思想、分类整合思想，累加法求和．属于难题．