题目内容
已知实数序列x0，x1，x2，…，xn…的构成规律由递推关系给出：x0=5，xn=xn-1+
（n=1，2，3…）．求证：45＜x1000＜45.1．
| 1 |
| xn-1 |
考点：数列递推式
专题：等差数列与等比数列
分析：由题意知数列的各项都是正数且递增，由xn2=（xn-1+
）2=xn-12+
+2，xn-12=(xn-2+
)2=xn-22+
+2，…，x12=(x0+
)2=x02+
+2，得xn2=
+
+…+
+
+x02+2n，当n=1000时，得x1000＞45．当n=100时，得x1002＞x02+2×100=152，由此能证明45＜x1000＜45.1．
| 1 |
| xn-1 |
| 1 |
| xn-12 |
| 1 |
| xn-2 |
| 1 |
| xn-22 |
| 1 |
| x0 |
| 1 |
| x02 |
| 1 |
| xn-12 |
| 1 |
| xn-22 |
| 1 |
| x12 |
| 1 |
| x02 |
解答：
解：由题意知数列的各项都是正数且递增，
即x0＜x1＜x2＜…＜xn＜…
∵xn2=（xn-1+
）2=xn-12+
+2，
xn-12=(xn-2+
)2=xn-22+
+2，
…
x22=(x1+
)2=x12+
+2，
x12=(x0+
)2=x02+
+2，
上述几个式子相加，得：
xn2=
+
+…+
+
+x02+2n，①
当n=1000时，则①式得：
x10002＞x02+2×1000=52+2000=2025，
∴x1000＞45．
又当n=100时，由①式得：
x1002＞x02+2×100=152，
则x10002=
+
+
+
+…+
+
+x02+2×1000
＜
+
+2025
≤
+
+2025=4+4+2025
＜452+9
＜452+2×45×0.1+0.12
=（45+0.1）2=45.12，
故x1000＜45.1．
综上，45＜x1000＜45.1．
即x0＜x1＜x2＜…＜xn＜…
∵xn2=（xn-1+
| 1 |
| xn-1 |
| 1 |
| xn-12 |
xn-12=(xn-2+
| 1 |
| xn-2 |
| 1 |
| xn-22 |
…
x22=(x1+
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x12 |
x12=(x0+
| 1 |
| x0 |
| 1 |
| x02 |
上述几个式子相加，得：
xn2=
| 1 |
| xn-12 |
| 1 |
| xn-22 |
| 1 |
| x12 |
| 1 |
| x02 |
当n=1000时，则①式得：
x10002＞x02+2×1000=52+2000=2025，
∴x1000＞45．
又当n=100时，由①式得：
x1002＞x02+2×100=152，
则x10002=
| 1 |
| x9992 |
| 1 |
| x9982 |
| 1 |
| x9972 |
| 1 |
| x9962 |
| 1 |
| x12 |
| 1 |
| x02 |
＜
| ||||||||
| 900个 |
| ||||||||
| 100个 |
≤
| 900 |
| 152 |
| 100 |
| 52 |
＜452+9
＜452+2×45×0.1+0.12
=（45+0.1）2=45.12，
故x1000＜45.1．
综上，45＜x1000＜45.1．
点评：本题考查不等式的证明，综合性强、难度大，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．
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| π |
| 6 |
A、x=
| ||
B、x=
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C、x=
| ||
D、x=
|