设等比数列{an}的首项为a1=2.公比为q.且满足3a3是8a1与a5的等差中项,数列{bn}满足2n2-(t+bn)n+32bn=0(t∈R.n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式,(2)试确定t的值.使得数列{bn}为等差数列,(3)当{bn}为等差数列时.对每个正整数k.在ak与ak+1之间插入bk个2.得到一个新数列{cn}．设Tn是数列{cn} � 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

设等比数列{a_n}的首项为a₁=2，公比为q（q为正整数），且满足3a₃是8a₁与a₅的等差中项；数列{b_n}满足2n²-（t+b_n）n+

b_n=0（t∈R，n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）试确定t的值，使得数列{b_n}为等差数列；
（3）当{b_n}为等差数列时，对每个正整数k，在a_k与a_k+1之间插入b_k个2，得到一个新数列{c_n}．设T_n是数列{c_n} 的前n项和，是否存在m，使得T_m=1180成立？若存在求出m的值；若不存在，请说明理由．

考点：数列与不等式的综合,数列的应用,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用已知条件求出公比，然后求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用已知条件求出b_n的表达式，数列{b_n}为等差数列，即可求出t的值；
（3）首先求出在数列{b_n}中，a_m及其前面所有项之和，然后求出a₉＜1180＜a₁₀，再求出又a₁₀在数列{b_n}中的项数，进而求出m的值．

解答： 解：（1）设等比数列{a_n}的首项为a₁=2，公比为q（q为正整数），且满足3a₃是8a₁与a₅的等差中项；
可得：6a₃=8a₁+a₅，6×2q²=8×2+2×q⁴，解得q=2．
∴an=2n…4分
（2）数列{b_n}满足2n²-（t+b_n）n+

b_n=0（t∈R，n∈N^*）．
得bn=

2n2-tn

，所以b₁=2t-4，b₂=16-4t，b₃=12-2t，
则由b₁+b₃=2b₂，得t=3…8分
当t=3时，b_n=2n，由b_n-b_n-1=2，所以数列{b_n}为等差数列…10分
（3））∵an=2n
∴在数列{b_n}中，a_k=2^k．a_k+1=2^k+1．
对每个正整数k，在a_k与a_k+1之间插入b_k个2，可得一个新数列{c_n}．设T_n是数列{c_n} 的前n项和，
在数列{b_n}中，a_m及其前面所有项之和为[2+2²+…+2^m-1+2^m]+（2×2+2×4+…+4m）=2m²+2^m+1+
2m．
∵2×9²+2⁹+2×9=692＜1180＜2×10²+2¹⁰+2×10=1244，即a₉＜1180＜a₁₀．
存在m，使得T_m=1180，
存在m=9+（b₁+b₂+…+b₈）+8=9+2+4+6+8+10+14+16+8=89 …16分．

点评：本题考查了等差数列的通项公式以及数列与不等式的综合，综合性强，难度较大．对于不等式恒成立问题通过转化成函数最值问题来解决．