Question

已知y=f（x）（x∈D，D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数f（x）在D内单调递增或单调递减；②如果存在区间[a，b]⊆D，使函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，那么称y=f（x），x∈D为闭函数．
（1）求闭函数y=x²（x∈[0，+∞））符合条件②的区间[a，b]；
（2）若y=k+

x

（k＜0）是闭函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）根据闭函数的定义知，对于闭函数y=x²，解出

y=x2 y=x

中的x值即得区间[a，b]；
（2）根据闭函数的定义，先通过求导判断该函数的单调性，而要满足条件②，只需方程x=k+

x

有两个不同实数根，将该方程变成一元二次方程，根据判别式△及韦达定理即可得到k的取值范围．

解答： 解：（1）根据闭函数的定义，解

y=x2 y=x

，x∈[0，+∞），得：x=0，或1；
∴该闭函数符合条件②的区间[a，b]=[0，1]；
（2）y′=

1

2 x

＞0；
∴函数y=k+

x

在[0，+∞）上是增函数，符合条件①；
由

y=x y=k+ x

得，x²-（2k+1）x+k²=0；
要满足条件②，该方程在[0，+∞）上需有两个不同的实数根；
∴

(2k+1)2-4k2＞0 2k+1＞0 k2≥0

，解得k＞-

1

4

，又k＜0；
∴实数k的取值范围为（-

1

4

，0）．

点评：考查对闭函数定义的理解，根据函数导数符号判断函数单调性的方法，一元二次方程有两个不同实根时的△的取值情况，以及韦达定理．